Equacions exponencials i logarítmiques

Jose Llopis
Equacions exponencials i logarítmiques

Equacions exponencials i logarítmiques

1. Equacions exponencials

Una equació exponencial és aquella en la que apareixen exponencials, és a dir, potències que tenen la incògnita, x, en els exponents. En aquesta pàgina resoldrem equacions exponencials sense emprar logaritmes.

El mètode de resolució consisteix en aconseguir una igualtat entre dues exponencials amb la mateixa base per poder igualar els seus exponents. Aplicarem les propietats de les potències.

Exemple 1:

resolució d'equacions exponencials

Si escrivim 27 com 3 elevat al cub, l'equació queda com

resolució d'equacions exponencials

Per a que ambdues potències siguin iguals, els seus exponents han de ser iguals. Per això, la solució de l'equació és x = 3.


Exemple 2:

Al escriure 64 com una potència de base 2, l'equació queda com

resolució d'equacions exponencials

Com que ambdues potències tenen la mateixa base, igualem els exponents:

resolució d'equacions exponencials

Llavors, la solució de l'equació exponencial és x = 2.



2. Equacions logarítmiques

En les equacions logarítmiques, la incògnita es troba en l'argument de logaritmes. La seva resolució es redueix, en realitat, a la resolució d'equacions del mateix tipus que les expressions dels arguments (equacions de segon grau, tercer grau, irracionals...).

Per resoldre aquestes equacions, aplicarem les propietats dels logaritmes:

logaritme del producte:

logaritme del quocient:

logaritme de la potència:

canvi de base:

Propietat útil en la pràctica (definició de logaritme):

 

Exemple 1:

 

equació logarítmica

Emprarem les propietats dels logaritmes i que el logaritme de 1000 és 3:

resolució d'equacions logarítimiques i de sistemes d'equacions logarítmiques

Tenim una igualtat entre logaritmes, aleshores els arguments (el de dins) han de ser els mateixos

resolució d'equacions logarítimiques i de sistemes d'equacions logarítmiques

La solució de l'equació és x = 50.


Exemple 2:

equació logarítmica  amb divisió de logaritmes

Operem en l'equació per simplificar-la. Quan tenim una igualtat entre dos logaritmes de la mateixa base, igualem els arguments. Finalment, una vegada obtingudes les solucions, comprovem que els arguments del logaritmes són positius:

resolució d'equacions logarítimiques i de sistemes d'equacions logarítmiques

L'única solució és x = 12/5 perquè si x = 0, l'argument del logaritme del denominador és negatiu.


Més informació:


matesfacil.com

Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.