Introducción

Los números complejos fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático italiano Girolamo Cardano, en un tratado monumental acerca de la solución de las ecuaciones cúbicas y cuarticas titulado Ars Magna. Las cantidades “ficticias” de Cardano fueron ignoradas por la mayoría de sus colegas, hasta que el genio matemático Carl Friedrich Gauss les dio el nombre actual y las utilizo para demostrar el teorema fundamental del algebra, el cual establece que todo polinomio que no sea constante tiene al menos un cero.

1.1Definición y origen de los números complejos

Definición: Un número complejo z es una pareja ordenada de los números reales x, y, y se escribe:

                   Z = (x, y)

A x se le llama parte real de z y a y parte imaginaria.

Ejemplos:

1. z = (1, 2), entonces, la parte real de z es 1 y la parte imaginaria es 2
2. z = (3,4) , entonces, la parte real de z es 3 y la parte imaginaria es 4
3. z = (5,-3), entonces, la parte real de z es 5 y la parte imaginaria es -3.

Dos números complejos z_{1 =} (x₁, y₁)  y z₂ = (x₂,y₂), son iguales si y solo si sus partes reales y sus partes imaginarias son respectivamente iguales.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos

Operaciones con números complejos.

La adición de los números complejos z_{1 =} (x₁, y₁)  y z₂ = (x₂, y₂) se define por :

              Z₁+z₂  = (x₁, y₁)  + (x₂, y₂) = (x₁+x_2,y₁+y₂).

Ejemplo:

Sea z₁= (4,-3) y z₂ = (-3,4) entonces:

Z₁+Z₂ : (4,-3)+ (-3,4) = (4-3,-3+4) = (1,1)

La sustracción de números complejos

              Z₁-Z₂ = Z₁+(-Z₂) C

Ejemplo:

Z₁-Z₂ = (4,-3) +(3,-4) = ( 7,-7)

La multiplicación se define mediante la regla:

     Z₁Z₂ = (x₁, y₁)(x₂,y₂) = ( x₁x₂-y₁y₂, x₁y₂+x₂y₁).

Ejemplos:

Z_{1 *} Z₂ = ( 4, - 3)  (-3, 4 ) =[ 4(-3) – (-3) (4), 4 (4) + (-3) (3)]

                                     = (-12 +12, 16+9) = (0, 25).

Z₁ = (0, 1); Z₂  = (0, 1)

Z_{1 *} Z₂   = ( 0, 1 )  ( 0, 1 ) =  [ 0 (0) – ( 1) ( 1 ), (0) ( 1 ) + ( 1 ) ( 0 ) ]                                                                                 = ( 0 – 1, 0 + 0 ) = ( - 1, 0 ) = - 1

 

El numero complejo (0, 1) es la unidad imaginaria y se denota por i con la propiedad que i²  = - 1.

Algunos detalles acerca de estas operaciones

Un numero complejo cuya parte imaginaria es cero es de la forma ( x,o ). Para estos números la adición y la multiplicación dan los siguientes resultados.

Si Z₁ = ( X₁, 0 )  y Z₂ = ( X₂ , 0 )

Z₁ + Z₂ = ( X₁, 0 ) + ( X₂ , 0 ) = ( X₁ + X₂, 0 )

Z_{1 *} Z₂ = ( X₁ , 0 ) ( X₂ , 0 ) = ( X₁ X₂ – 0 , 0 + 0 )

                                        = ( X₁ X₂ , 0 )

Si Y es un numero real, Y = ( Y, 0 ), i = ( 0, 1 )

iY  = ( 0, 1 ) ( Y, 0 )  = ( 0, Y )

      = (0 – 0, 0 + Y)

      = (0, Y)

 

Además, por la definición de adición, se tiene lo siguiente:

Si Z = ( X, Y ) = ( X, 0 ) + ( 0, Y )

Y se utiliza (0, Y) = iY, se obtiene la forma muy conveniente:

Z = X + iY  {conocida como la forma estándar de un numero complejo}

 

Adición y multiplicación de números complejos en la forma estándar

Si Z₁ = X₁ + i Y₁ ,   Z₂ = X₂ + i Y₂

Z₁ + Z₂ = ( X₁ + i Y₁ ) + ( X₂ + i Y₂ )

           = X₁ + X₂ + i ( Y₁ + Y₂ )

Z₁ = 3 + 4 i                        Z₂ = - 3 + 6 i

Z₁ + Z₂ = ( 3 + 4i ) + ( - 3 + 6 i )

           = (3 -3 ) + i ( 4 + 6 )

           = 0 +10i = 10i

 

La multiplicación se efectúa de la misma manera en que se realiza la multiplicación, de polinomios, recordando que :

                                 i² = - 1

 

Z₁Z₂ = ( 3 + 4 i ) ( - 3 + 6 i )

Escribiendo los factores en forma vertical :

 3   + 4 i

-3   + 6 i

_________

      -9-12i

          18i+24i²                                   

________________

  -9+6i-24 = -33 +6i

Números complejos conjugados

Se dice que dos números complejos son conjugados uno de otro si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias difieren solo en signo. El complejo conjugado de un número complejo z se denota por el símbolo z. Es decir:

Si z = x+iy, entonces z = x-iy

Ejemplos:

1. z = 2+3i, entonces el conjugado de  z = 2-3i
2. z = 3+4i, entonces el conjugado de  z  = 3-4i
3. z = 2-2i, entonces el conjugado de  z = 2+2i

Un número complejo y su conjugado satisfacen las siguientes relaciones:

1. z+z = 2Rez
2. z-z = 2iImz
3. z.z = x²+y²

 

1.3 Potencias de i, modulo o valor absoluto de un numero complejo

 Potencias de la unidad imaginaria

Por multiplicación directa se pueden establecer los siguientes resultados que se dejan como ejercicio al lector:

Ejercicio:

Demostrar que i² = -1, i³= -i, i⁴= 1, i⁵= i

 

Representación grafica de los números complejos.

Como los números complejos se representan por pares ordenados de números reales, podemos asignar el punto en el plano cartesiano, con coordenadas X, Y al numero complejo Z igual a (X, Y) aunque es mas útil denotar por Z al vector (segmento de recta dirigido) que va desde el origen hasta el punto   ( X, Y ).

(X_, Y ) -----à  Z = ( X, Y )

El origen del  sistema coordenado se denota por el numero complejo 0 = (0,0).

El modelo del plano cartesiano de los números complejos, se llama plano complejo.