Función inversa
1. Definición
Informalmente, sea f una función biyectiva. Entonces, su función inversa, g, es la función que proporciona las anti-imágenes del recorrido de f. Por ejemplo, si f(a) = b, entonces g(b) = a.
Ejemplo:
La inversa de la función f(x) = 2x es g(x) = x/2. Veamos que g proporciona las anti-imágenes de f:
- f(2) = 2·2 = 4, g(4) = 4/2 = 2
- f(3) = 2·3 = 6, g(6) = 6/2 = 3
- f(-10) = 2·(-10) = -20, g(-20) = -20/2 = -10
Normalmente, la función inversa de f se denota por f^1, pero por comodidad, escribiremos g.
La exigencia de que f sea biyectiva es para que la función inversa g esté bien definida. Pero no tendremos en cuenta esta propiedad ya que en este recurso sólo explicaremos cómo obtener la expresión de la función inversa de una función f.
Formalmente, si f es una función biyectiva del conjunto A en el conjunto B, entonces se define su función inversa como la función g del conjunto B en el conjunto A tal que f( g(x) ) = x para todo x de B y g( f(x) ) = x para todo x de A.
Ejemplo:
Comprobamos que la inversa de la función f(x) = 2x es g(x) = x/2:
Veamos que g( f(x) ) = x:
- g( f(x) ) = g( 2x ) = (2x)/2 = x
- Veamos que f( g(x) ) = x:
- f( g(x) ) = f( x/2 ) = 2·(x/2) = x
2. Obtención de la inversa
Sea y = f(x), para obtener su función inversa y = g(x), seguimos los siguientes pasos:
- Aislamos x en la ecuación y = f(x)
- Cambiamos las x por y y viceversa.
Ejemplo 1:
Sea la función f(x) = (2x-1)/3.
Resolvemos la ecuación y = (2x-1)/3:
3y = 2x -1
3y +1 = 2x
(3y+1)/2 = x
Cambiamos las x por y y viceversa:
(3x+1)/2 = y
Por tanto, la función inversa de f es g(x) = (3x+1)/2.
Ejemplo 2:
Sea la función f(x) = raíz(x+1) siendo x > -1
Resolvemos la ecuación y = raíz(x+1):
y^2 = (raíz(x + 1))^2
y^2 = x + 1
y^2 - 1 = x
Cambiamos las x por y y viceversa:
x^2 - 1 = y
Por tanto, la función inversa de f es g(x) = x^2 - 1.
Más información y problemas:
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