Equacions de segon grau (completes i incompletes)
Equacions de segon grau completes i incompletes
Una equació de segon grau és una equació polinòmica de grau 2, és a dir, el major grau dels monomis és 2, o siga, x al quadrat. Com que l'equació és de grau 2, tindrà, com a molt, dues arrels (solucions) distintes.
Tota equació de segon grau es pot escriure en la forma
Si ningun dels coeficients, a,b i c és zero, és a dir,
direm que l'equació és completa. Si no és així (si b ó c és 0), direm que és incompleta.
1. Equació completa
Les solucions ( o arrels) de l'equació de segon grau venen donades per la fórmula quadràtica:
Anomenem discriminant de l'equació al radicant de la fórmula anterior, o siga, a
Es compleix que
-
Si Δ = 0, l'equació té una única solució (de multiplicitat 2)
-
Si Δ < 0, no existeixen solucions (reals)
-
Si Δ > 0, existeixen dues solucions (reals) distintes (de multiplicitat 1).
Exemple:
El discriminant és
Δ = 8 > 0
Per tant, l'equació té dues arrels simples. Apliquem la fórmula per obtenir les dues solucions:
Més exemples: Equacions completes
2. Equació incompleta
Una equació incompleta té alguna de les següents formes
Primer tipus
Si l'equació és de la forma
Tenim la única solució (arrel doble) x = 0.
Segon tipus
Si l'equació és de la forma
Aïllem x i tenim que
Les dues arrels són
Però és necessari que el radicant (l'interior de l'arrel) sigui positiu. Si no és així, no existeixen solucions (reals).
Exemple:
Aïllem x i fem l'arrel quadrada (no oblidem el doble signe)
Tercer tipus
Si l'equació és de la forma
Factoritzem
Com que és un producte amb resultat 0, algun dels dos factors ha de ser 0. Per tant, tenim les possibilitats (arrels):
Notem que en el segon cas la solució és x = -b/a.
Exemple:
Factoritzem l'expressió i ens queda un producte de x per un polinomi de primer grau. Per tant, el producte és 0 si x = 0 ó el polinomi és 0.
Més exemples: Equacions incompletes
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.