Utilizando Geogebra, se realiza una construcción para relacionar el teorema de Pitágoras con el área de una corona circular.

La apertura y cierre de un paraguas o una sombrilla se rige por un sencillo mecanismo. En esta actividad se explora en qué propiedades geométricas se basa ese mecanismo.

Cuando un figura tiene simetría axial, a cada punto a un lado del eje le corresponde otro punto (que se llama "punto reflejado" o "imagen") al otro lado del eje y a la misma distancia del eje, de forma que la línea que los une es perpendicular al eje. En esta actividad hay que crear figuras que tengan simetría axial, a partir del eje de simetría que la aplicación muestra. Se puede elegir el número de puntos que hay que reflejar en el eje, así como el nivel de dificultad.

En esta actividad se pueden dibujar figuras que tengan simetría axial, a partir del eje de simetría que la aplicación muestra.

En esta actividad se presenta un juego para dos jugadores. Cada uno con una ficha trata de pillar al otro.

En un billar normal, la bola rebota en la banda de forma simétrica respecto a la perpendicular a la banda en el punto de contacto, formando ángulos iguales a ambos lados. En esta actividad, en cambio, se practica el juego del billar con una banda curva, en ese caso el eje de simetría es la perpendicular a la recta tangente a la curva en ese punto. En el caso de un billar circular, esa perpendicular es siempre el radio del círculo.

Se comprueba mediante una sencilla construcción Geogebra que cualquier azulejo triangular puede teselar el plano.

En otras actividades se comprueba que los únicos polígonos regulares que teselan el plano son: Triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. En esta actividad se hacen prácticas con teselados o mosaicos que se denominan semirregulares y que se forman combinando dos o más tipos de polígonos regulares, distribuidos de tal modo que en todos los vértices aparecen los mismos polígonos y colocados en el mismo orden.

Se explican las curvas de Bézier cuadráticas. Al iniciarse, la siguiente aplicación muestra un azulejo con forma de hueso. Se trata de un famoso motivo que aparece en la Alhambra, conocido como "el hueso nazarí". Con ayuda de esas curvas, podemos modificar fácilmente la forma de un azulejo, de tal modo que, una vez modificado, el azulejo siga teselando. Este método se conoce como "quita y pon", porque básicamente consiste en poner en un lado lo que se ha quitado del otro.

En esta actividad se pueden ver tres ejemplos de mosaicos pivotantes. Si imaginamos que los polígonos que forman parte de un mosaico son piezas sólidas engarzadas entre sí en sus vértices mediante pivotes (ejes o bisagras) que les permiten girar entonces, en algunos casos, al hacer girar las piezas se abren espacios huecos entre ellas que crean nuevos mosaicos.

En esta actividad se puede ver que aunque los pentágonos regulares no pueden teselar el plano, existen al menos 14 familias de pentágonos convexos irregulares que logran teselarlo.

En esta actividad se puede ver que los hexágonos regulares pueden teselar el plano. Por otra parte, la clasificación de polígonos cóncavos que teselen es un problema demasiado amplio para ser abordado, salvo casos particulares (como los poliominós y los poliamantes) a los que se puede acceder también desde esta actividad aunque existe una específica dedicada a ellos.

La carretilla de Penrose es un poliamante de orden 18 (un poliamante es un polígono formado por triángulos equiláteros iguales unidos entre sí por sus lados). La clave para rellenar el plano con esta tesela consiste en formar con 12 de ellas un polígono base con el que, finalmente, se podrá rellenar el plano mediante sucesivas traslaciones. En esta aplicación se trata de completar ese polígono base.

Se comprueba mediante una sencilla construcción Geogebra que cualquier azulejo en forma de cuadrilátero puede teselar el plano.

En esta actividad se pueden construir atractivos (y difíciles) mosaicos con las dos teselas Dardo y Cometa. Con infinitas copias de una tesela, o de una colección de teselas distintas, se pueden realizar mosaicos aperiódicos, es decir, mosaicos donde ningún movimiento de traslación hará que una copia coincida con el original.

Mediante una sencilla construcción en Geogebra se contruyen mosaicos aperiódicos con dos tipos de azulejos: Pentágono equilátero cóncavo y Pentágono regular, estrella de cinco puntas, decágono regular y "ocho". Se observa con la cosntrucción que con copias de un mismo azulejo podemos realizar mosaicos aperiódicos, es decir, mosaicos donde ningún movimiento de traslación hará que una copia coincida con el original. En ambos casos, con los mismos azulejos también se pueden crear mosaicos perió...

En esta actividad se puede crear un diseño propio de un rosetón. Para ello primero hay que elegir, con ayuda de los deslizadores, el grupo de isometrías, es decir, los tipos de simetrías que queremos que aparezcan.

Una vez leída la información sobre el Grupo de isometrías de los rosetones, a la que se puede acceder desde la misma página, en la escena se explora la clase de losDiedros (*n, nm), la segunda de las dos clases de rosetones, realizando las construcciones indicadas o mediante diseños libres de azulejos. Es recomendable realizar antes de esta la actividad sobre la otra clase de rosetones, la de los rosetones Cíclicos.

Una vez leída la información sobre el Grupo de isometrías de los rosetones, a la que se puede acceder desde la misma página, en la escena se explora la clase de los Cíclicos (n, n), la primera de las dos clases de rosetones, realizando las construcciones indicadas o mediante diseños libres de azulejos.

Esta actividad te permitirá demostrar tu habilidad para encontrar el grupo de isometrías correspondiente a un mosaico. Recuerda que aquí no hacemos distinción por color, solo nos fijamos en las formas, es decir, en el contorno y diseño del motivo decorativo. Es aconsejable realizar primero las actividades planteadas en la aplicación de esta misma colección llamada "Prácticas de exploración de mosaicos". Se incluyen las soluciones de las actividades propuestas.