Valor absoluto e inecuaciones con valor absoluto
Valor absoluto e inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo).
Por ejemplo,
1. Función valor absoluto
Matemáticamente, el valor absoluto es una función (de una variable) de los reales en los reales:
y se define como una función a trozos:
Esta función es continua en los reales y derivable en
La gráfica de la función es:
Notemos que en los reales negativos la gráfica es la de y = - x y en los positivos es la de y = x.
2. Propiedades
-
El valor absoluto siempre es mayor o igual que 0, siendo 0 sólo cuando su argumento es 0:
-
El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de los factores:
-
Valor absoluto de la suma:
-
Propiedad importante: si tenemos la desigualdad (menor o igual)
podemos escribir
que es lo mismo que decir
(tienen que cumplirse ambas relaciones).
Dicho en forma de intervalos:
Si la desigualdad es (mayor o igual)
podemos escribir
(es una unión: tiene que cumplirse una de las dos).
Dicho en forma de intervalos:
3. Inecuaciones con valor absoluto
Inecuación 1
Escribimos la inecuación como
Por tanto, la solución es
Inecuación 2
Podemos escribir la inecuación como
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:
Sumamos 1:
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:
De ambas formas obtenemos la misma solución:
Inecuación 3
Escribimos la inecuación como:
Vamos a trabajar primero con las dos inecuaciones al mismo tiempo:
Sumamos 5:
Sumamos x:
Ahora tenemos que separarlas para obtener la solución:
Por un lado:
Por otro:
En esta segunda inecuación hemos obtenido una relación que siempre se cumple. Luego no nos aporta restricciones a la solución.
Por tanto, la solución es
Más información:
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